TQWT, wie berechnet man das? (Fortgeschrittene)

TQWT ist das Kürzel für Tapered Quarter Wave Tube (wortwörtlich übersetzt: zapfenförmiges Viertelwellenlängen-Rohr). Darunter versteht man zunächst einmal ein sich erweiterndes (bzw. verjüngendes), einseitig offenes Rohr. Bis hierhin unterscheidet sich die TQWT nicht wesentlich von der "altbekannten" Transmission-Line (TL).

"Klassische" Transmission-Line mit verschiedenen Querschnittsformen:

verjüngend
konstant
erweiternd

Während sich die TL in der Regel verjüngt (→ Bedämpfung des Resonanzeffekts) und die Anregung am geschlossenen Ende stattfindet, erweitert sich bei der TQWT in der Regel der Querschnitt (→ Erhöhung des Resonanzeffekts), es gibt einen Querschnittssprung am offenen Rohrende (→ Bedämpfung des Resonanzeffekts) und die Anregung befindet sich irgendwo zwischen Anfang und Ende des Rohres (→ Verschmierung des Resonanzeffekts). Damit hat die TQWT wesentlich mehr Freiheitsgrade als die TL und ist im Prinzip schwieriger zu berechnen.

Freiheitsgrade der Tapered Quarter Wave Tube (TQWT):

Grundlagen:

Ein einseitig offenes Rohr, welches am geschlossenen Ende angeregt wird, zeigt bei bestimmten Frequenzen ein Resonanzverhalten. Bei diesen Frequenzen ist die Abstrahlung aus dem offenen Ende maximal (der Schalldruck ist dort gerade genau so groß wie außerhalb es Rohres, so dass die Welle nicht zurückreflektiert wird), während die Anregung am geschlossenen Ende maximal bedämpft wird (denn hier ist der Schalldruck wegen der „festen“ Wand gerade maximal).

Dieser Resonanzeffekt tritt auf, wenn gerade ¹/₄, ³/₄, ⁵/₄, ⁷/₄ . . . der Wellenlänge in die Rohrlänge „passen“.

Wenn man nun solch ein Rohr zur Abstrahlung bestimmter Frequenzen auslegen will, muss man deren Wellenlänge kennen. Die Wellenlänge λ (sprich: Lambda, das griechische „λ“) hat die Einheit Meter und berechnet sich aus der Schallgeschwindigkeit c in Meter / Sekunde und der Frequenz F in Hertz (= Schwingungen / Sekunde) wie folgt:

Wellenlänge λ [m] = Schallgeschwindigkeit c [m/s] / Frequenz F [Hz],

wobei die Schallgeschwindigkeit c bei Raumtemperatur etwa den Wert 340 m/s hat.

Das Rohr hat seine erste Resonanz aber bei ¼ der Wellenlänge, daher muss gelten:

Effektive Rohrlänge L_eff [m] = ¼ · Schallgeschwindigkeit c [m/s] / Frequenz F [Hz] = 85 / F

Bei einer effektiven Rohrlänge von 1.7 m ergeben sich z.B. Resonanzfrequenzen bei 50, 150, 250 Hz etc. Aber warum effektive Rohrlänge? Ohne ins Detail gehen zu wollen, ist ein solches Rohr akustisch länger als es physikalisch den Anschein hat (die Schallwelle „merkt“ quasi nicht sofort, dass das Rohr schon zu Ende ist). Die so genannte Endkorrektur (also der „akustische“ Zuschlag) beträgt etwa 79% – 85% des äquivalentem Öffnungsdurchmessers bzw. 89% - 96% der Wurzel der Öffnungsfläche.
Zur Berechnung des insgesamt abgestrahlten Schalldrucks (Lautsprecher direkt + Abstrahlung aus der Rohröffnung) muss übrigens berücksichtigt werden, dass die Abstrahlung aus der Rohröffnung natürlich "später" als die Anregung durch den Lautsprecher erfolgt. Verkompliziert wird das Ganze noch durch die unterschiedlichen Entfernungen des Messpunkts zum Lautsprecher bzw. zur Rohröffnung.

"Faustformeln" zur Dimensionierung einer TQWT:

Für eine TQWT eignen sich insbesondere Chassis mit einem Qts zwischen 0.3 und 0.7. Das Chassis wird üblicherweise nach 35 bis 50% der Rohrlänge positioniert (vom geschlossenen Ende aus gerechnet). Der Anfangsquerschnitt (geschlossenes Ende) beträgt meist 75 bis 100% der Membranfläche, am offenen Ende ist das Rohr meist 2- bis 3-mal so groß wie die Membranfläche. Die Rohrlänge wird so ausgelegt, dass die Resonanzfrequenz der TQWT bis zu 20% höher als die Freiluftresonanz des Lautsprechers liegt. Der Durchmesser des Endrohres beträgt etwa 40 - 60% des Membrandurchmessers, das Verhältnis Länge/Durchmesser ist etwa 150%. Die untere Grenzfrequenz hängt von der Rohrlänge und den Querschnitten ab, ist aber in der Regel etwa 70% der Resonanzfrequenz der TQWT. Ein JAVA-Calculator findet sich in unserer Abteilung

Online-Berechnungen.

Detaillierte Berechnung einer TQWT:

Wer es genauer wissen will, sollte sich einmal die Berechnungen von M.J. King unter http://www.quarter-wave.com ansehen. Dort wird das Programm MathCad verwendet, um die umfangreichen Berechnungen und Auswertungen zu machen (übrigens nicht nur zum Thema TQWT sondern auch Transmission-Lines, geschlossene und Bassreflex-Gehäuse etc.). Glücklicherweise muss man das Programm MathCad nicht kaufen, sondern es reicht der kostenlos erhältliche MathCad-Explorer, um die vorgefertigten Arbeitsblätter auszuführen (beides unter http://www.quarter-wave.com). Zum Downloaden des MathCad-Explorers (12.1 MB) sollte man allerdings ein schnelles Modem haben! Die Installation geht recht einfach von der Hand, das Programm trägt sich aber in die Registry ein

Anpassen der Zahlendarstellung:

Bevor es losgehen kann, muss übrigens noch die Zahlendarstellung überprüft werden. Da Martin J. King das Arbeitsblatt mit angloamerikanischer Einstellung erstellt hat (hier wird der Punkt als Dezimal-Trennzeichen und das Komma als Tausender-Trennzeichen verwendet, also z.B. 1,234.56), muss diese Einstellung auch bei der späteren Ausführung aktiv sein (da es auch „unsichtbare“ Bereiche gibt, hilft ein Ersetzen der sichtbaren Punkte in Kommata leider nichts). Die Zahlendarstellung kann unter „Start“ / „Einstellungen“ / „Systemsteuerung“ / „Ländereinstellungen“ / „Zahlen“ geändert werden.
Wenn das ML TQWT-Arbeitsblatt geöffnet wurde (ML steht für Mass Loaded und meint, dass die mitschwingende Luftlast des Gehäuses bei den Berechnungen mitberücksichtig worden ist), erkennt man, dass es in mehrere Bereiche eingeteilt ist:

Jetzt geht’s aber los:

• Zunächst kommt ein Kopf-Bereich mit Angaben zum Autor und mit der Definition von allgemeinen Variablen wie Dichte der Luft (Air Density) und Schallgeschwindigkeit (Speed of Sound)

• Dann kommt der eigentliche Eingabebereich. Zunächst schauen wir uns nur den oberen Teil an, in dem Angaben zum Chassis (Thiele-Small-Parameter), zum Gehäuse und zur Bedämpfung gemacht werden:

Tja, was man zuerst entdeckt ist, dass Mr. King nicht ganz die "gewohnten" Namen für die TSPs verwendet (z.B. fd statt Fs). Außerdem erkennt man die Verwendung "komischer" Einheiten wie in (für inch, 1 inch = 2.54 cm) oder noch besser lb · ft-3 (lb für pound, 1 lb = 453.6 g; ft für foot, 1 foot = 12 inch = 30.48 cm → 1 lb · ft-3 = 16 g/dm³). Schließlich zeigt sich, dass Eingabefelder auch berechnet sein können, ggf. sogar unter Verwendung vorher definierter Variablen (z.B. S_L = 7 · S_d mit S_d = 132 cm² → S_L = 924 cm²). Nicht auf den ersten Blick zu erkennen ist, das MathCad als international verbreitetes Programm auch andere Einheiten wie cm oder g/dm³ verstehen kann. Schön und gut, aber:

Wie editiert man ein Eingabefeld?

Am besten klickt man zunächst einmal in die Nähe eines Eingabefeldes. Dort erscheint dann ein rotes + (oben). Nun benutzt man die Pfeiltasten zur weiteren Navigation. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass der jeweils zu editierende Teil (Variablenname, Wert bzw. Einheit) blau unterstrichen wird (Mitte). Markiert man das Eingabefeld mit der Maus, kann leicht das gesamte Eingabefeld markiert werden. Beim ersten Tastendruck würde dann sowohl der Variablenname als auch der Wert und seine Einheit überschrieben werden.
Und das kann böse enden! Da man die geänderten MathCad-Arbeitsblätter nicht abspeichern kann (eine der Einschränkungen, solange man den kostenlosen MathCad-Explorer statt einer vollwertigen MathCad-Version verwendet), sind dann alle vorherigen Änderungen wertlos, da man das Eingabefeld wohl kaum wieder genau so hinbekommt wie es war. Also: Vorsichtiger Umgang mit der Maus ist angesagt!
Wurde ein Eingabefeld bearbeitet, ändert sich übrigens seine Farbe. Die Sache mit den Einheiten und der Berechnung innerhalb eines Eingabefeldes kann man sich übrigens zunutze machen. Die Eingabe des Öffnungsradius in inch ist z.B. nicht besonders intuitiv, lieber würde man den Durchmesser in cm eingeben. Kein Problem! (rport = 1.5 in = 3.81 cm = 7.62 / 2 cm)

Feinheiten der TQWT-Modellierung:

Schließlich folgt noch ein Eingabebereich, den man allerdings in den meisten Fällen nicht ändern wird, nämlich die Transmission Line Definition, also die Definition der Querschnittserweiterung und der Bedämpfung.
Der Teil zwischen Treiber (Querschnitt S_D) und geschlossenem Ende (Querschnitt S₀) und der Teil zwischen Treiber und offenem Ende (Querschnitt S_L) werden durch jeweils 5 Teilsegmente modelliert. Jedes Teilsegment ist gleich lang (Lc_0-4 sowie Lo_0-4), die Querschnittszunahme ist ebenfalls gleich (der Flächenzuwachs ist jeweils TR • x • L). Dies ist ein sehr flexibler Ansatz, mit dem bestimmt auch Hörner berechnet werden können (Annäherung der Kontur durch Konussegmente)!
Das Absorptionsmaterial ist mit vorher definiertem Füllgrad (Eingabefeld Density) in allen Teilsegmenten zwischen Treiber und geschlossenem Ende (Dc_0-4) sowie im ersten Teilsegment vom Treiber zum offenen Ende (Do₀) angebracht. Für die letzten 4 Teilsegmente in Richtung offenes Ende (Do_1-4) wurde kein Absorptionsmaterial angenommen (Füllgrad 0). Hier kann man durch Eingabe anderer Füllgrade z.B. eine lokal unterschiedliche Bedämpfung realisieren.

Alles eingegeben, und nun?

Die Berechnung wird gestartet, indem die Maus unter den Eingabebereich verschoben wird:

Dieses wird für den Benutzer dadurch deutlich, dass sich der Mauszeiger in ein Daniel-Düsentrieb-Lämpchen verwandelt.

Und an dieser Stelle trennt sich dann die Spreu vom Weizen: die Berechung braucht sehr viel Rechenleistung! Mit einem 233 MHz Pentium II kommt absolute Langeweile auf (> 1 Minute pro Berechnung!). Selbst mit einem 1.6 GHz Pentium4 ist flüssiges Arbeiten kaum möglich (ca. 10 Sekunden pro Berechnung).

Jede Menge Ergebnisse!

Insgesamt 12 verschiedenen Grafiken werden pro Durchgang berechnet, wovon vor allem das Diagramm 6 (Gesamtschalldruck der TQWT in rot) von Interesse ist:

Ein paar Hintergrundinformationen:

Bei der Schalldruckberechnung geht das Sheet zunächst einmal von der Abstrahlung in einer unendlichen Schallwand aus, d.h. Einflüsse einer schmalen Schallwand (sog. Bafflestep) werden nicht berücksichtigt. Ebenso wird der Abstand zwischen Lautsprecher und Öffnung der TQWT nicht berücksichtigt (das Sheet geht davon aus, dass beide Punkte identisch bzw. gleich weit vom Berechnungspunkt entfernt sind). Das ist zwar nicht ganz richtig, aber unter Berücksichtigung der Raumrückwirkung eine zu verschmerzende Ungenauigkeit.

Aber wie vergleichen?

Zum Vergleich verschiedener Varianten (z.B. verschiedene Endrohre) bleibt nur das Kopieren des gewünschten Diagramms in die Zwischenablage (Diagramm mit Maus anklicken → ein gestrichelter Rahmen und eine schwarze Hand erscheint, dann rechte Maustaste drücken und „Copy“ oder die Tasten „Strg“ und „C“ gleichzeitig drücken) und das Einfügen z.B. in WORD (rechte Maustaste und „Einfügen“ oder die Tasten „Strg“ und „V“ gleichzeitig drücken).
Leider sind die Diagramme nicht „durchsichtig“, so dass man trotz des Kopieraufwandes die Kurven nicht übereinander legen kann.

Dokumentation der Ergebnisse:

Damit man mit den verschiedenen Varianten nicht durcheinander kommt empfehle ich, jede Berechnung mit den folgenden Daten zu versehen:

Während man bei den Lautsprecherparametern mit den vorgegebenen Einheiten gut leben kann, sind die Einheiten bei der Eingabe der TQWT-Daten für den deutschen Hausgebrauch nicht üblich und sollten immer mit angegeben werden (da sie ja auch leicht geändert werden können).
Wer auch mit der Bedämpfung herumspielen will, sollte vielleicht die Dichte des Dämpfungsmaterials für alle zehn Abschnitte angeben, muss dies dann aber auch im Bereich „Transmission Line Definition“ entsprechend eingeben:

Vergleich verschiedener TQWT-Varianten:

Alle Varianten basieren auf dem Beispieltreiber aus dem Martin J. King Arbeitsblatt, so dass die Lautsprecherparameter nicht noch einmal angegeben werden müssen. Mit den Startwerten des Arbeitsblattes ergibt sich folgender Gesamtschalldruck:

Der Frequenzgang sieht schon ganz gut aus, lediglich das Gehäusevolumen fällt für eine 17er etwas groß aus (Nettovolumen = (S_l-S_o)/2 · L = (7·S_d+1·S_d)/2 · 60 in = 4 · 132 cm² · 60 · 2.54 cm = 80.5 dm³ ® Bruttovolumen ca. 110 dm³) und die Überhöhung um 40 Hz sieht unschön aus. Die Resonanzfrequenz F_TQWT der TQWT beträgt etwa 85 / (60 · 2.54 / 100) = 55 Hz und liegt damit etwa bei F_s. Als untere Grenzfrequenz F₃ ergeben sich damit immerhin 35 Hz, also 36% unterhalb von F_TQWT!

Versuchen wir es nun mit einer geringeren Fläche am offenen Ende, um das Gehäuse etwas „handlicher“ zu machen:

Das Gehäuse ist zwar nur noch 50.3 dm³ groß, aber das Ganze hat doch etwas Tiefbass gekostet :-(

F₃ steigt auf 42 Hz, liegt damit aber immer noch 24% unter F_TQWT. Und die Welligkeit ist auch angestiegen. Das kann man durch eine Verlängerung des Endrohres kompensieren (r_port ≈ 0.5...0.75 · r_d, L_port ≈ 2...3 · r_port).

Tja, die Welligkeit ist zwar weniger geworden, der Tiefbass aber auch. Vielleicht sollte die TQWT doch etwas kürzer gemacht werden?

Na, das sieht doch schön aus, oder? Und ist mit 41.9 dm³ nur fast halb so groß wie die Vorgabewerte.

Was hätte sich unter Anwendung der Faustformel ergeben?

Okay, der Tiefbass ist etwas unterbelichtet, dafür aber richtig tief! Je nach Aufstellung der TQWT im Raum kann das sogar günstig sein. Und das alles in bescheidenen 34.9 dm³!

Unsere Abonnenten finden in der Online-Berechnungabteilung unseres Magazins ein Script mit dem sich TQWTs berechnen lassen.